由增量平稳性, 记

当 $n = 0$ 时, 由增量独立性知

由微分性质知

代入导数定义得

代入初值 $P_0(0) = P\Bqty{N(0) = 0} = 1$ 得 $P_0(t) = \e^{-\lambda t}$.

当 $n > 0$ 时, 由微分性质知

代入导数定义得

考虑初值 $P_n(0) = P\Bqty{N(0) = n} = 0$, 于是由数学归纳法得